周向宇院士：中國古代數學的成就

發布時間：2024-01-25

「編者按」“中國古代數學的貢獻”一文，作者系周向宇院士。在研究專業數學之余，作者將學習和研究中國古代數學的心得體會與研究成果整理成文，刊發于《數學學報，中文版》2022年第4期。該文闡釋與揭示了中國古代數學對華夏文明的貢獻，對國學、語言、文化的影響，以及對現代數學的影響與貢獻?！皵祵W大院”公眾號將陸續以推文呈現，讓讀者從多方面領略中國古代數學的成就與貢獻。

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圖片來源：永樂大典.卷16343-16344.算字.明嘉靖隆慶間內府重寫本.劍橋大學圖書館藏

以下內容節選自“中國古代數學的貢獻”一文第三章“中國古代數學的成就”，作者系周向宇院士。

3.1 代數思想

中國古代很早就有了零的思想，比如在籌算中用空位表示零。零不僅指各個數位上的零(用空位表示，后用圓圈O)，也包括運算結果中的零。中國古代很早就引進了負數，在《九章算術》里就很明確地引進了負數、加法的逆運算減法及其運算規則(交換律、結合律)，乘法的分配律，乘法的逆運算及分數及其運算律，這是數學發展中的一個里程碑。所以說，中國古代數學最早認識、發現、引進了第一個無限群、環、域(整數群、整數環、有理數域)；另外還引進了矩陣(matrix)，發現了消元法(Gaussian elimination)，解決了線性方程組求解問題(Cramer's Rule for system of linearequations)。

《九章算術》是一部十分重要的數學著作，總結了戰國、秦、漢時期的數學成就，西漢的張蒼、耿壽昌等曾經做過增補和整理，后來劉徽給它作了注解。雖然最后成書于東漢前期(公元一世紀左右)，但許多內容顯然早已存在于先秦。這從劉徽為《九章算術》作的注就可看出。負元(逆元)、逆運算及其運算規律的引進使得運算變得方便靈活，完滿解決了運算問題，為抽象代數的產生奠定了基礎。對其意義與價值，套用拉普拉斯關于十進位值制的話來評價是不過分的。

3.2 天元術

中國古代數學用算籌計算圓周率，開平方根、立方根和更高次的根，對多項式方程進行數值求解。此外，中國古代數學還引進了未知量“天元”，國家自然科學基金有一個“數學天元基金”，就是為了紀念中國古代引進了變量、未知量、待定量?！八卧慕堋崩钜?、秦九韶、楊輝、朱世杰建立、整理和發展了天元術，而到了朱世杰時期已經發展成為了天、地、人、物四個變元。

在宋元四杰時期(大約為十三、十四世紀)，中國數學的發展達到了一個高峰，比如十進分數。比如秦九韶的大衍求一術(1247年)，這個結果被稱為中國剩余定理(高斯后來重新發現)。又比如高次方程的數值解法，也是秦九韶基于很多古代數學家的貢獻發展總結而來的。西方在19世紀重新發現這個方法，并稱為霍納方法(Horner's scheme)，在前蘇聯編撰的《數學百科全書》的相應條目“Horner's scheme”里、

3.3 極限思想

再來談談中國古代的極限思想?！肚f子·天下》有句惠子名言: “一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！钡谝惶烊∧鹃㈤L度的，第二天取，到了第天取，萬世都不會窮盡。寫成式子，即

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后面必然需要省略號“......”。

另外，《墨子·經下》有句話的意思是說，一條線段從中點分為兩半，取其一半再破成兩半，仍取一半繼續分割，直到不可分割時就只剩一個點?！赌印そ浵隆罚骸胺前敫?span style="padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; text-wrap: wrap; font-family: arial, 宋體, sans-serif, tahoma; box-sizing: border-box !important; overflow-wrap: break-word !important;">[著斤] (編者注：該字左著右斤，讀作zhuó，因GBK編碼無法顯示該生僻字，故本文以[著斤]代替)，則不動，說在端?！边@里，[著斤](zhuó) (注：有的書也用斫)意指：用刀斧砍?！督浾f下》曰：“非[著斤]半，進前取也。前則中無為半，猶端也。前后取，則端中也。[著斤]必半，毋與非半，不可[著斤]也”。墨子的半分法體現了(事實上等價于)區間套原理。半分法可以用來證明數學分析里的幾個重要、被認為有難度的定理。比如證明致密性定理、聚點定理、有限覆蓋定理，還有連續函數的零點存在定理、Henstock--Kurzweil積分中的基礎---Cousin引理(對閉區間上的任一正函數，總存在閉區間的-細度分劃(-fine Perron partition)) (HK積分僅對黎曼積分做些許改動，就蘊含了勒貝格積分)，其實用的都是墨子的半分法。

另外，惠子的取半、墨子的半分及王爾的半中說明古人應該很早就會用尺規平分線段。

劉徽和祖沖之的“割圓術”也蘊含了極限的思想。祖率(密率)

是非常巧妙的。祖沖之和他的兒子祖暅編寫了《綴術》，這本書是唐朝算學科最難的課本。祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”，就是說：如果兩個立方體的所有等高的橫截面積全都相等，則它們的體積必相同(這里“既”是“全、都”之意)。這在微積分里被西方稱為卡瓦列里(Cavalieri)原理。祖暅用其原理求出“牟合方蓋”的體積，進而得出球體積，解決了劉徽遺留問題。

《綴術》代表了當時數學的最高水平，但“學官莫能究其深奧，是故廢而不理”，這本書最終失傳了，這是十分遺憾的事情。在我看來，《綴術》蘊含極限思想，光從書名來看， “綴”就有連續的含義。

明朝數學家王文素及其《算學寶鑒》對數學有重要貢獻，比如對于17世紀微積分創立時期出現的導數，王文素在16 世紀已發現并使用。

上述成就當然是基礎數學的成就，只是中國古代數學的一小部分。

參考文獻

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