以下內容節選自“中國古代數學的貢獻”一文，作者系周向宇院士。

我們先從自然數談起。人類在數學上的發展，首先源于對自然數的認知。自然數作為基數與序數反映了一一對應、順序、大小等思想。在遠古時期，人們需要用各種辦法來計數狩獵的收獲。在遠古中國，我們結繩計數，而在其他文明，也有壘石計數的(微積分calculus一詞的前詞根原意就是卵石之意，引申為壘石計數、計算術)。再到后來，人們采用書契(書寫符號)來計數、表示數目，正如《周易·系辭下》所說：“上古結繩而治,后世圣人易之以書契”。我認為，人類所碰到的最早、最重大的數學問題，便是記數問題及其運算問題：如何用少量、簡潔的符號來表示所有的數，以及如何對它們進行運算？

古代中國通過用“籌”來計數引進十進位值制。比如《墨子·經下》說：“一少于二而多于五”，即“一”在個位數時小于“二”，但在十位數時卻大于“五”；《墨子·經說下》提到：“一：五有一焉；一有五焉：十，二焉”，說的就是位值制。雖然秦朝焚書坑儒------劉徽給《九章算術》作注時指出，秦朝焚毀了很多書籍，導致各類經書殘缺不全(“往者暴秦焚書，經術散壞”)，這也是他寫《九章算術注》的一個因素，但公元四、五世紀的《孫子算經》仍把算籌記數的方式表達得非常明確：“凡算之法，先識其位，一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當”。也就是說，記數的方法，首先要判斷數字的位置，個位用縱式，十位是橫式，百位又用縱式，千位又是橫式，就這樣縱橫相間地用算籌來記數。用縱式和橫式符號來表示自然數1至9的方式可見圖1。以2014的算籌記法為例：從右往左，個位用縱式的4，十位用橫式的1，百位是零使用空位，千位又用橫式的2，見圖。這顯然是十進位值制思想，是對上述記數問題的一個回答。

關于“十進位值制”，拉普拉斯曾評價道：從印度人那里，我們學到了用10個字母來表示所有數的聰明辦法，這個聰明辦法，除了賦予給每個符號以一絕對的值以外，還賦予了一個位置的值，這是一種既精致又重要的想法。這種想法看起來如此簡單，而正因為如此簡單，我們往往并未能足夠認識它的功績。但是，正由于這一方法的無比簡單，以及這一方法對所有計算的無比方便，使得我們的算術系統在所有有用的創造中成為第一流的。至于創造這種方法是多么困難，則只要看看下面的事實就不難理解。這個事實是：這一發明甚至逃過了阿基米德與阿波羅尼斯的天才，而他們是古代兩位最偉大的人物 (見文[2])。

《普林斯頓數學指南》中條目“十進位值制”(decimal place value system)(見文[3])指出，印度人大約在公元五世紀使用十進位值制，然而成書于公元四世紀的《孫子算經》就已經很明確地闡明了十進位值制。更遑論“籌”、“算”已廣泛見于先秦經典，而“籌”、“算”的首要目的就是計數。后來注意到，吳文俊先生其實更早就意識到了這個問題，他說十進位值制思想最早的創立者應將拉普拉斯說的“印度人”改為“中國人”[4]。吳先生對中國數學史有重要貢獻。

國際上也開始逐漸地承認[6]，是中國最早創立了十進位值制，并且在公元前幾個世紀，也就是在印度采用位置記數法的很久之前，就已開始使用，是當時最先進的記數系統。

現今沿用印度-阿拉伯數字的記數系統，思想和方法與中國古代十進位值制是一樣的，但符號更簡潔、表述更方便，進一步回答了上面提到的人類遇到的最古老的記數問題。這里，印度-阿拉伯數字作出了貢獻?，F今十進位值制記數系統在歐洲進而在全球普及離不開Stevin，Napier，Vieta等人的貢獻?？梢?，數學思想的簡要表述對數學發展也是十分重要的。

《漢書·律歷志》明確地提到了我國古代數學的諸多方面：推歷、生律、制器、規圓、矩方、權重、衡平、準繩、嘉量，探賾索隱、鉤深致遠。其中，“賾”的意思是深奧、幽深、玄妙、精妙?！疤劫懰麟[、鉤深致遠”闡明了科學研究的真諦，把科學研究的對象、內容與方式以及目標與意義都講清楚了。作科學研究就是探賾索隱、鉤深致遠。另外，這里提到的規矩、權衡、準繩、嘉量都屬于數學，包括數學的測量工具及其用途，比如規是畫圓的工具，矩是畫方的工具，準繩是量平、畫直線的工具，權衡是量輕重的工具。另外還有鉤，做曲線用。

籌算也是我國古代數學的一個重要組成部分。所謂的“籌”(有時又稱“策”、“籌策”、“算籌”)，是指用竹、木、鐵、玉、獸骨、象牙等各種材質制成的小棍。另外，還有用于盛(chéng)裝它們的算籌袋和算子筒。在做籌算時，將算籌從算袋中取出，放在桌上、炕上或地上等進行擺弄、運算。

[1] 毛澤東, 改造我們的學習, 毛澤東選集第三卷, 北京: 人民出版社, 1991:797.

[2] Cajori F., A History of Mathematical Notations, Dover Publications, Inc. New York, 1993:70.

[3] Gowers T. (Ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.

[4] 吳文俊, 對中國傳統數學的再認識, 百科知識, 1980年第7--8期.

[5] 程貞一, 聞人軍, 周髀算經譯注, 上海: 上海古籍出版社, 2012.

[6] 卡爾·博耶(Carl B. Boyer)著, 尤塔·梅茲巴赫(Uta C. Merzbach)修訂, 數學史(修訂版), 中央編譯出版社, 2012.

[7] 吳文俊主編, 世界著名數學家傳記, 花拉子米, 北京: 科學出版社, 1995.

[8] 李文林, 數學史概覽, 北京: 高等教育出版社, 2000.

[9] 中國大百科全書,數學卷, 數學編輯委員會主任: 華羅庚, 蘇步青, 北京: 中國大百科全書出版社, 1992.

[10] 周易、老子、墨子、列子、莊子、孟子、荀子、管子、韓非子、左傳、淮南子、貞觀政要, 中華經典名著全本全注全譯叢書, 北京: 中華書局, 2010--2019.